Jump Diffusion Option Valuation in Discrete Time


author: KAUSHIK I. AMIN

*摘要

1.當股價遵循跳躍擴散過程時,可以透過一個簡單的離散時間模型來評估選擇權的價值。將跳躍應用至CRR二項式模型上。
2.此研究發展了一個易於處理的離散時間模型。透過加入跳躍過程,可以解釋Black-Scholes模型無法解釋的內容。
3.反駁Black-Scholes模型在某些情況下無法獲得選擇權價值的估算。
(1)美式選擇權可以在到期前的任何一天行駛OPTION.
(2)許多OPTION評估模行假設資產價格的變動遵循對數正態分布或離散分布,這些假設過於簡單,不符合現實實際狀況。
(3)當遇到選擇權價值隨時間和利率變化而變化的情況時,封閉解無法準確評估
4.以CRR模型作為起點。假設股票價格在每個離散點可以通過上漲(uptick)下跌(downtick)來變動,其中tick為股價變動的最小單位。這些變動稱為「局部」(local)價格變動。當發生跳躍(jump)時,股票價格會在時間內變動多個'ticks',因為跳躍引起的股價變動稱之為離散時間跳躍
5.Section 2選擇合適的狀態空間和時間間隔使離散時間過程弱收斂於感興趣的連續時間跳躍擴散過程,來對這一模型進行特殊化。
eg:太陽光電投資項目中,"時間"會是模擬不同時刻的時間步長,如每天、每小時、每月等等。隨著時間步長縮小,能夠捕捉收益和電價變動的細微差異,相對地,模型計算成本提高。"狀態"可以是不同的電價水平、不同的市場需求等。
Section 3 擴展模型納入系統性跳躍風險。
Section 4 展示不同類型的跳躍提供兩種不同類型跳躍分佈的計算結果。
Section 5 不同跳躍分布下的option特性表徵了兩種不同跳躍分佈下美式認購和認沽期權的提前行使邊界的特性。
Section 6 總結總結全文並提出未來研究的一些方向。


*理論模型: 在離散時間內對具有跳躍擴散過程的選擇權進行定價。

1.i為時間,j為狀態。兩期模型的狀態空間表示如下:

Sj(i)表示在日期i下,處於狀態j的股票價格(S)
2.股票價格動態的描述:每一期間內,股票價格會發生兩種不同且互斥的價格變動。
(1)局部(local)變動 :股票價格會上下移動一個最小單位的變動tick。意即日期i狀態j的股票價格,可能會在日期i+1下,上升至j+1狀態或是下降至j-1狀態。這種變動又稱為擴散(diffusion)。(可想像為股票價格每日都有一個連續的波動,描述價格的連續性即為"擴散")
(2)跳躍(jump)變動: 股票價格因罕見事件的發生而變動。這種罕見事件在任何給定期間內發生的概率很低。它對應於突發性信息的到來,導致股票價格大幅變動。當罕見事件發生時,股票價格會“跳躍”到下個日期的可能任何狀態(不包括相鄰狀態)在狀態空間格上。
(3)透過股票價格即可區分發生的是local change 或是 Jump event。兩事件在時間內為互斥。

(4)假設有一到期日為T的選擇權,選擇權價格在時間i狀態j下表示為Cj(i)。若在該時間、狀態下行使選擇權,獲得的回報表示為Fj(i)。
(方程式1~方程式3 討論建立一個對沖方程式,針對金融衍生性商品的local change做避險。然而,「抵銷局部變動所帶來的風險」,在評估再生能源投資上較不適用,因RE投資受更多更複雜的因素影響,在此處討論避險模型的重要性較低,故省略。)
(5) ΔK資本收益回報率: 計算單期收益報酬(如 時間i~時間i+1)。


在沒有跳躍(罕見事件未發生)的情況下,選擇權價值上漲與下跌的機率分別為p和(1-p),與CRR的二項式模型所假設的無風險上漲概率相同。


方程式9描述了罕見事件發生時,因該該風險不可對沖,故期望值設定為0。


*跳躍擴散過程的近似

前言

1.跳躍過程在每個期間增加,其概率等於連續時間跳躍過程的強度乘以每個時間間隔的寬度。
eg:如果連續時間中每年發生跳躍的機率為0.1,而我們的離散時間間隔為一個月,那麼在每個月內發生跳躍的概率將是0.1乘以(1/12),即0.0083或0.83%。
2.跳躍過程的增量的分布是通過在二項過程的狀態空間上離散化連續時間跳躍分佈來構建。意指將連續時間中的跳躍分布、頻率、大小納入到離散時間模型中,確保離散跳躍能反映連續跳躍的特性。

建立假設1 (簡化解釋連續時間的跳躍擴散模型)

1.跳躍過程的強度和跳躍事件引起的價格變動的分佈是獨立於當前狀態的。這意味著這兩者與當前時間點的股票價格狀態無關

跳躍事件的發生與當前股價水平沒有直接關聯性

2.股價擴散項的變異數是當前股價的恆定比例。這保證在沒有跳躍事件的情況下,股票價格遵循具有恆定比例變異的對數正態分佈

未考慮跳躍情況下,股價擴散部分遵循對數常態分佈,並且其波動性是當前股價的一個恆定比例。這表示股價的波動性(短時間內的變化程度)與當前股價水平成比例關係,並且股價的波動成對數常態分佈。

eg:在並未考慮法規變動或其他突發事件的情況下,太陽能發電量的波動性與當前發電量水平成比例。假設正常情況,每天發電量波動相對較小,並且波動幅度與當前發電量水平相關。這樣的情況下,太陽光電系統就可以按照某穩定、符合對數常態分佈的方式運作。
*方程式17:描述了股票價格在連續時間內的變化,其中包括預期收益率、股利、波動率、跳躍強度以及跳躍事件的影響。


*方程式18 : 利用風險中性概率,替換方程式17的內容,以簡化模型。


*方程式19:給出股票價格的飄移率,即為在風險中性概率下的股票價格預期變化率。


*方程式20 通過將方程式18取對數,將連續時間模型轉換為能夠近似連續時間的"離散型模型"。將連續時間的股價變化轉換為離散時間的對數價格變化,方便進行數值計算和分析。

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