#3 工程數學


教學資源

工數比較常用到積分,微分部分需要補基本定理與偏微分部分;線性代數要懂一點,諸如線性相依、線性獨立,cramer’s rule 等;二階還會扯到 euler's formula 尤拉公式,原本想邊走邊補,但這條馬路已經坑到一腳就碎開 XD。

先修課程 微積分中的積分
積分技巧 PDF
積分表

工程數學 Engineering Mathematics 開放式課程

課程教材

筆記

我恨透了工程數學,但是要接下一個課程:訊號與系統,傅立葉、laplace 就不能少 ... QQ
慣例先講解一些基本概念,例如 degree、order、liner、non-liner 之類的判斷。
移項直接積分用特解找通解換一個比較長的例子:
分離變數看一個不有趣的例題:
應用題 題目一開始我有 $B₀$ 個細菌在培養皿裡面,經過 1 hour,變成了 2$B₀$ 個,題目想知道經過多少時間,培養皿裡面才會有 10$B₀$ 個細菌,想都別想
應用題 解答當然,也不是所有 equation 都可以直接分離變數,所以可透過變數變換轉成可分離變數的 O.D.E,只是要先確定是一階齊次才可以變數變換,至於怎麼判斷是否為一階齊次 ... 詳見課程教材:一階常微分方程 P.12。
變數變換世間總是不合情理,方程也不一定為齊次,所以下面有一個非齊次的例子,判斷兩條線是否相交於一點,是的話利用平移的方式消除常數,化為齊次方程式。平移使其齊次那萬一這兩條線平行怎麼辦?不要平行就好了,改題目。我是說,想辦法替換掉,意外地簡單。替換使其齊次終於要進入正合與可正合化 O.D.E!可喜可賀,正合 (exact),故其名剛剛好,判斷的方式跟解法都很歡樂,是數學渣的我一唸就能理解的,使我頓時與工程數學的心靠近了一釐米,雖然在下一秒我就甩了它十萬八千里。另外非正合 O.D.E,均至少存在一個積分因子,可使其化為正合,推導出積分因子就可以把一個非正合化為正合,儘管推導的部分著實讓我想 to die,但整個用起來就很簡單,暫時原諒它。非正合化為正合最後進入(可)線性(化),這裡結束,就表示一階 O.D.E 到一個段落可以進到二階啦 ~ 線性化有三種方式,如下圖:三種方式Bernoulli (白努力):Bernoulli(2):(2)Riccati:Riccati

總結第一章,一階常微分方程:

  1. 是齊次,可分離變數就直接做,不行就用變數替換,使其可分離化
  2. 是正合,就直接做,不是就找積分因子,使其正合化
  3. 是線性,用積分因子法直接做,不是就判斷並使用三種方式的其中一個使其線性化

二階高階 O.D.E 就跳過他吧,我只是需要 laplace 跟 fourier,馬上進 laplace。慣例先講解一些 laplace 概念跟判斷,常見的幾種 laplace 轉換阿。常見的幾種平移定理阿、Heaviside Function 阿、Pulse 阿。第一平移第二平移Heaviside FunctionPulse各種基本定義定理與證明都過去了之後,課也就上了一大半,接下來只要熟用這些基本轉換與特性,就可以進到喜聞樂見的解題時間。laplace 轉換習題laplace 轉換習題兩題之後,我們又多出了新的定理。尺度轉換定理用膝蓋想,接下來會針對這個定理舉一個例題練習,但這個例題太簡單了,其實不用尺度變換直接做說不定更快 XD。尺度轉換習題積分的 laplace 轉換、laplace 轉換的積分,哪個人在 laplace 裡面放積分?積分的 laplace 轉換單位脈衝函數 δ(t),無須此問怎麼還有,這是講不完的。圖片就不貼了,詳閱教材 P.18,下面要講更重要的:褶合積分 (convolution integral),直到上完褶合積分,我才略懂略懂為何往後的課程訊號與系統需要先修工程數學。

不管如何,掌握了下面的轉換表與定理特性,就可以在 laplace 中化腐朽為神奇。







你可能感興趣的文章

7月23日 星期四

7月23日 星期四

深入學習 lsd-slam - 5

深入學習 lsd-slam - 5

算術運算子

算術運算子






Comments