#3 工程數學

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工數比較常用到積分，微分部分需要補基本定理與偏微分部分；線性代數要懂一點，諸如線性相依、線性獨立，cramer’s rule 等；二階還會扯到 euler's formula 尤拉公式，原本想邊走邊補，但這條馬路已經坑到一腳就碎開 XD。

先修課程 微積分中的積分
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工程數學 Engineering Mathematics 開放式課程

課程教材

筆記

我恨透了工程數學，但是要接下一個課程：訊號與系統，傅立葉、laplace 就不能少 ... QQ
慣例先講解一些基本概念，例如 degree、order、liner、non-liner 之類的判斷。
換一個比較長的例子：
看一個不有趣的例題：
一開始我有 $B₀$ 個細菌在培養皿裡面，經過 1 hour，變成了 2$B₀$ 個，題目想知道經過多少時間，培養皿裡面才會有 10$B₀$ 個細菌，想都別想。
當然，也不是所有 equation 都可以直接分離變數，所以可透過變數變換轉成可分離變數的 O.D.E，只是要先確定是一階齊次才可以變數變換，至於怎麼判斷是否為一階齊次 ... 詳見課程教材：一階常微分方程 P.12。
世間總是不合情理，方程也不一定為齊次，所以下面有一個非齊次的例子，判斷兩條線是否相交於一點，是的話利用平移的方式消除常數，化為齊次方程式。那萬一這兩條線平行怎麼辦？不要平行就好了，改題目。我是說，想辦法替換掉，意外地簡單。終於要進入正合與可正合化 O.D.E！可喜可賀，正合 (exact)，故其名剛剛好，判斷的方式跟解法都很歡樂，是數學渣的我一唸就能理解的，使我頓時與工程數學的心靠近了一釐米，雖然在下一秒我就甩了它十萬八千里。另外非正合 O.D.E，均至少存在一個積分因子，可使其化為正合，推導出積分因子就可以把一個非正合化為正合，儘管推導的部分著實讓我想 to die，但整個用起來就很簡單，暫時原諒它。最後進入(可)線性(化)，這裡結束，就表示一階 O.D.E 到一個段落可以進到二階啦 ~ 線性化有三種方式，如下圖：Bernoulli (白努力)：(2)：Riccati：

總結第一章，一階常微分方程：

1. 是齊次，可分離變數就直接做，不行就用變數替換，使其可分離化
2. 是正合，就直接做，不是就找積分因子，使其正合化
3. 是線性，用積分因子法直接做，不是就判斷並使用三種方式的其中一個使其線性化

二階高階 O.D.E 就跳過他吧，我只是需要 laplace 跟 fourier，馬上進 laplace。慣例先講解一些 laplace 概念跟判斷，常見的幾種 laplace 轉換阿。平移定理阿、Heaviside Function 阿、Pulse 阿。各種基本定義定理與證明都過去了之後，課也就上了一大半，接下來只要熟用這些基本轉換與特性，就可以進到喜聞樂見的解題時間。兩題之後，我們又多出了新的定理。用膝蓋想，接下來會針對這個定理舉一個例題練習，但這個例題太簡單了，其實不用尺度變換直接做說不定更快 XD。積分的 laplace 轉換、laplace 轉換的積分，哪個人在 laplace 裡面放積分？單位脈衝函數 δ(t)，無須此問怎麼還有，這是講不完的。圖片就不貼了，詳閱教材 P.18，下面要講更重要的：褶合積分 (convolution integral)，直到上完褶合積分，我才略懂略懂為何往後的課程訊號與系統需要先修工程數學。

不管如何，掌握了下面的轉換表與定理特性，就可以在 laplace 中化腐朽為神奇。