量子信息論
內容描述
過去二十年，經過量子物理學家、電腦科學家和數學家的思想碰撞，量子信息科學發展出極其迷人的生命力，
反過來對其他傳統學科產生了很大的沖擊，引領世界進入第二次量子科技革命。
本書作者是量子信息科學的先驅之一。
書中內容涵蓋本學科的主要思想，是這個領域的入門寶典。
通過這本書，讀者將深刻掌握量子信息科學的要點。
—— 翁文康，華為量子計算軟件與算法首席科學家
本書不僅是對量子信息論的優雅概述，而且清晰闡釋了其推理背後的重要技術。
書中涵蓋表示論、半定規劃、測度集中以及其他主流工具，呈現了該領域的關鍵元素。
這些技能將幫助讀者武裝頭腦，為前沿研究貢獻智慧。
—— Patrick Hayden，斯坦福大學
本書是關於量子信息的數學理論書籍，主要討論量子信息論中基礎理論的精確數學表示和證明。
它是為數學、電腦科學和理論物理方向的研究人員和高校研究生所設計的，
可幫助他們全面理解這一領域的關鍵結論、證明技術和方法論，進而將其應用到不同的研究方向。
本書要求讀者對基礎數學知識有一定的理解，包括線性代數、概率論、泛函分析和測度論。
書中首先給出必要的數學預備知識，在此基礎上，對所有結論均給出了清晰和完整的證明。
此外，書中還配備了一些有挑戰性的練習，目的是幫助讀者提升技能，逐步加深對量子信息論的理解。
目錄大綱
出版者的話
譯者序
前言
符號說明
第 1 章 數學基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 線性代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.1 復歐幾里得空間 . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 線性算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 算子的分解與範數. . . . . . . . . . .20
1.2 分析、凸性和概率論 . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 分析和凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 概率論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.3 半定規劃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 推薦參考資料. . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
第 2 章 量子信息基本概念 . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 寄存器與態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 寄存器與經典態的集合 . . . . . . 47
2.1.2 寄存器的量子態. . . . . . . . . . . . .49
2.1.3 量子態的約化與純化 . . . . . . . . 54
2.2 量子通道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 通道的定義與基本概念 . . . . . . 58
2.2.2 通道的表示與特徵. . . . . . . . . . .61
2.2.3 通道與其他映射的例子 . . . . . . 72
2.2.4 極點通道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1 測量的兩種定義. . . . . . . . . . . . .80
2.3.2 測量的基本概念. . . . . . . . . . . . .83
2.3.3 極點測量與系綜. . . . . . . . . . . . .89
2.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
第 3 章 態與通道間的相似性及距離 . . . . 98
3.1 量子態區分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.1 區分一對量子態. . . . . . . . . . . . .98
3.1.2 區分系綜的量子態 . . . . . . . . . 104
3.2 保真度函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 保真度函數的基本性質 . . . . . 110
3.2.2 保真度函數的特徵 . . . . . . . . . 113
3.2.3 保真度函數的其他性質 . . . . . 122
3.3 通道距離與區分 . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1 通道區分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.2 完全有界跡範數 . . . . . . . . . . . 132
3.3.3 通道間的距離. . . . . . . . . . . . . .139
3.3.4 完全有界跡範數的特徵 . . . . . 147
3.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .158
第 4 章 保幺通道與優超. . . . . . . . . . . . . . .161
4.1 保幺通道的分類 . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.1.1 混合酉通道. . . . . . . . . . . . . . . .161
4.1.2 Weyl 協變通道 . . . . . . . . . . . . 170
4.1.3 Schur 通道 . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2 保幺通道的普遍性質 . . . . . . . . . . 179
4.2.1 保幺通道集合的極點 . . . . . . . 179
4.2.2 保幺通道的不動點、譜和模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
4.3 優超 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.1 實向量的優超. . . . . . . . . . . . . .188
4.3.2 Hermite 算子的優超. . . . . . . .194
4.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .200
第 5 章 量子熵與信源編碼 . . . . . . . . . . . . 202
5.1 經典熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.1.1 經典熵函數的定義 . . . . . . . . . 202
5.1.2 經典熵函數的性質 . . . . . . . . . 204
5.2 量子熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.2.1 量子熵函數的定義 . . . . . . . . . 214
5.2.2 量子熵函數的基本性質 . . . . . 215
5.2.3 量子相對熵的聯合凸性 . . . . . 222
5.3 信源編碼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3.1 經典信源編碼. . . . . . . . . . . . . .229
5.3.2 量子信源編碼. . . . . . . . . . . . . .232
5.3.3 在量子態上編碼經典信息 . . . 236
5.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .247
第 6 章 二分糾纏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1 可分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1.1 可分算子與可分態 . . . . . . . . . 249
6.1.2 可分映射與 LOCC 範式 . . . . 261
6.1.3 可分測量與 LOCC 測量 . . . . 268
6.2 關於糾纏的操作 . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.2.1 糾纏變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.2.2 可提取糾纏和糾纏費用 . . . . . 279
6.2.3 束縛糾纏和部分轉置 . . . . . . . 284
6.3 與糾纏有關的現象 . . . . . . . . . . . . . 290
6.3.1 傳態和密集編碼 . . . . . . . . . . . 290
6.3.2 非經典關聯. . . . . . . . . . . . . . . .300
6.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .313
第 7 章 置換不變性和酉不變測度 . . . . . 316
7.1 置換不變的向量和算子 . . . . . . . . 316
7.1.1 置換不變向量的子空間 . . . . . 316
7.1.2 置換不變算子的代數 . . . . . . . 324
7.2 酉不變概率測度 . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.2.1 均勻球測度和 Haar 測度 . . . 332
7.2.2 酉不變測度的應用 . . . . . . . . . 342
7.3 測度集中及其應用 . . . . . . . . . . . . . 349
7.3.1 L.evy 引理和 Dvoretzky定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349
7.3.2 測度集中的應用 . . . . . . . . . . . 364
7.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .376
第 8 章 量子通道容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.1 量子通道上的經典信息 . . . . . . . . 379
8.1.1 量子通道的經典容量 . . . . . . . 379
8.1.2 Holevo-Schumacher- Westmoreland 定理 . . . . . . . . 388
8.1.3 有糾纏協助的經典容量定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402
8.2 量子通道上的量子信息 . . . . . . . . 418
8.2.1 量子容量與相關概念的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418
8.2.2 量子容量定理. . . . . . . . . . . . . .425
8.3 非可加性和超激發 . . . . . . . . . . . . . 440
8.3.1 Holevo 容量的非可加性. . . . .441
8.3.2 量子通道容量的超激發 . . . . . 446
8.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .457
參考文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
作者介紹
John Watrous
滑铁卢大学计算机科学学院教授，量子计算研究所成员。他是加拿大高等研究院（CIFAR）研究员，以及圆周理论物理研究所成员。
他的主要研究方向是量子信息与计算，目前的研究重点是量子信息理论及其在算法、复杂性理论和密码学中的应用。
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