關係&函數（Relations & Functions）

二元關係（binary relation）

探討兩物件之間關係形成的集合，記為「ρ」（發音為「rho」），兩物件 a 與 b 之間的二元關係記為「aρb」或「(a,b)∈ρ」，兩種表示方式實質等價。

一、單一集合的二元關係

二元關係為該集合本身笛卡爾積的子集。

舉例來說，若在集合 S 中包含 a、b、c 三個元素，則 S 的二元關係形成的集合「ρ」必定為「S×S」這個超集「{(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}」的子集。

「單一集合二元關係」範例

若有一集合 S={0,1,2,3}，(aρb)↔(a>b)，請問「ρ」為何？

首先我們知道，「ρ」必為「S×S={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}」的子集，而在 S×S 中，有哪些元素符合「a>b」條件呢？

答案是 {(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)}，在 S×S 中這些元素形成的子集「ρ」中的每個元素都符合「a>b」二元關係。

二、多個集合的二元關係

二元關係為不同集合間笛卡爾積的子集。

舉例來說，若在集合 S 中包含 a、b、c 三個元素、集合 T 中包含 x、y 兩個元素，則 S 與 T 的二元關係「ρ」形成的集合必定為「S×T」這個超集「{(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y))}」的子集。

「多個集合二元關係」範例

若有一集合 S={0,1,2,3}、集合 T={-1,-2,-3}，(xρy)↔(x+y=0)，請問「ρ」為何？

「ρ」必為「S×T={(0,-1),(0,-2),(0,-3),(1,-1),(1,-2),(1,-3),(2,-1),(2,-2),(2,-3),(3,-1),(3,-2),(3,-3)}」的子集，而在 S×T 中，有哪些元素符合「x+y=0」條件呢？

答案是 {(1,-1),(2,-2),(3,-3)}，在 S×T 中這些元素形成的子集「ρ」中的每個元素都符合「x+y=0」二元關係。

三、齊次關係（homogeneous relation）

描述「同一集合中」的元素自己跟自己、或跟其他元素形成的二元關係。

齊次關係共有下列八種性質：

自反性（reflexive）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意元素 x，(x,x) 皆屬於「ρ」這層關係時，稱「ρ」這個二元關係具有自反性。
[∀(x)∈ S]‧[(x,x) ∈ ρ]
舉例來說，若 S={1,2,3}，S 中的一個二元關係 ρ 為「=」，因為 1=1、2=2、3=3，用 ρ 描述 S 當中每個元素跟自己的關係皆正確，就可以說 ρ（即「＝」）這個二元關係在 S 集合中具有自反性。

非自反性（irreflexive）

即「自反性」的相反，若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意元素 x，(x,x) 皆不屬於「ρ」這層關係，稱「ρ」這個二元關係具有非自反性。
[∀(x)∈ S]‧[(x,x) ∉ ρ]
舉例來說，若 S={1,2,3}，S 中的一個二元關係 ρ 為「>」，因為 1>1、2>2、3>3 皆錯誤，ρ 無法用於描述 S 當中每個元素跟自己的關係，就可以說 ρ（即「＞」）這個二元關係在 S 集合中具有非自反性。

對稱性（symmetric）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意兩元素 x、y，若 (x,y) 屬於 ρ，則 (y,x) 也屬於 ρ，則稱此二元關係「ρ」具有對稱性。
[∀(x,y)∈ S]‧{[(x,y)∈ ρ] → [(y,x)∈ ρ]}
舉例來說，若 S={1,2,3}，S 中的一個二元關係 ρ 為「皆為奇數」，則 ρ 包含 {(1,3)} 這個集合，也必會包含 {(3,1)} 這個集合，就可以說 ρ（即「皆為奇數」）這個二元關係在 S 集合中具有對稱性。

反對稱性（antisymmetric）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意兩元素 x、y，若 (x,y) 屬於 ρ、(y,x) 也屬於 ρ 時才能說「x=y」，則稱此二元關係「ρ」具有反對稱性。
[∀(x,y)∈ S]‧{[(x,y)∈ ρ ∧ (y,x) ∈ ρ] → (x=y)}
舉例來說，在自然數「N」這個集合中的一個二元關係 ρ 為「÷」，若要兩個數可互被對方除，則兩數必定相等，例如 4 可以被 2 整除、但 2 無法被 4 整除，若要讓這個雙向除法關係成立，則被除數跟除數必定相等，如 4÷4，因此稱 ρ（即「÷」）這個二元關係在N集合中具有反對稱性。

非對稱性（asymmetric）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意兩元素 x、y，若 (x,y) 屬於 ρ，則 (y,x) 不屬於 ρ，則稱此二元關係「ρ」具有非對稱性，符合此條件的二元關係必也同時滿足「非自反性」與「反對稱性」。
[∀(x,y)∈ S]‧[(x,y)∈ ρ → (y,x) ∉ ρ]
舉例來說，在實數「R」這個集合中的一個二元關係 ρ 為「<」，√2<√3 正確，但 √3<√4 錯誤，ρ 只滿足兩元素間的單向關係，就可以說 ρ（即「＜」）這個二元關係在 R 集合中具有反對稱性。

遞移性（transitive）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意三元素 x、y、z，若 (x,y) 屬於 ρ 且 (y,z) 也屬於 ρ，則 (x,z) 也屬於 ρ，則稱此二元關係「ρ」具有遞移性，符合此條件的二元關係必也同時滿足「非自反性」與「非對稱性」。
[∀(x,y,z)∈ S]‧[(x,y)∈ ρ ∧ (y,z) ∈ ρ→ (x,z) ∈ ρ]
舉例來說，在實數「R」這個集合中的一個二元關係 ρ 為「<」，當 √2<√3 正確、√2<√4 也正確時，√2<√4 依然成立，就可以說 ρ（即「<」）這個二元關係在 R 集合中具有遞移性。

弱連通性（connected）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意兩元素 x、y，只要 x 跟 y 相異，則 x 跟 y 有關，或 y 跟 x 有關，則稱 x 跟 y 間的二元關係「ρ」具有弱連通性。
[∀(x,y)∈ S]‧{(x≠y) → [(x,y)∈ ρ] ∨ [(y,x)∈ ρ]}
舉例來說，在實數「R」這個集合中的一個二元關係 ρ 為「<」，取兩個相異的數 √2 及 √3，√2<√3 正確、√3<√2 錯誤，但因為兩元素間只要其中一個方向關係成立就具弱連通性，因此依然可以說 ρ（即「＜」）這個二元關係在 R 集合中具有弱連通性。

連通性／全關係／完全性（strongly connected / totality）

若在一集合 S 中有二元關係「ρ」，取 S 中任意兩元素 x、y，只要 x 與 y 符合 ρ，或者 y 與 x 符合 ρ，就可以說稱 x 跟 y 之間的二元關係「ρ」具有連通性。
[∀(x,y)∈ S]‧[(x,y)∈ ρ) ∨ (y,x)∈ ρ)]
舉例來說，在實數「R」這個集合中的一個二元關係 ρ 為「≤」，取兩相異數 √2 及 √3，√2≤√3 正確、√3≤√2 錯誤，兩元素間其中一個方向關係成立；如果取兩相同數 2 及 2，2≤2 正確、把兩個 2 顛倒相比依然正確，就可以說 ρ（即「≤」）這個二元關係在 R 集合中具有連通性。

上面舉例的「<」在取兩相同數 2 及 2 時，不論方向，「2<2」皆錯誤，因此「<」不具連通性。

四、關係閉包（closure of relation）

讓不滿足某一特定關係的集合，在經過增加最少序對的情況下，變得滿足該特定關係。

舉例來說，若在集合 S={1,2,3,4} 的笛卡爾積中有一集合 A={(1,1),(2,3)}，則 A 不具備「自反性」，那麼要如何使 A 變得有「自反性」呢？

在 A 集合中，我們少了 (2,2)、(3,3) 及 (4,4) 三個元素，A 集合中「至少」要加上這三個元素，才能變得有自反性，A 中原本有的元素則全部保留，最終變成 {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}，這個新的集合就是「自反閉包（reflexive closure）」。

另有「對稱閉包（symmetric closure）」、「傳遞閉包（transitive closure）」等。

五、偏序關係（partial order relation）

若一個二元關係同時滿足下列三種條件，則稱為「偏序關係」：

1. 自反性（reflexive）
2. 反對稱性（antisymmetric）
3. 遞移性（transitive）

舉例來說，在實數集合「R」中，我們可以依序檢查「x≤y」這個二元關係是否為一個「偏序關係」。

1. 自反性：在 R 中，任意數必「≤」自己，因此具有自反性。
2. 反對稱性：在 R 中，如果 x≤y 又 y≤x，則 x=y，因此具有反對稱性。
3. 遞移性：在 R 中，如果 x≤y 又 y≤z，則 x≤z，因此具有遞移性。

「x≤y」在 R 中同時具備自反性、反對稱性與遞移性，因此可說「≤」這個二元關係為一「偏序關係」。

哈斯圖（Hasse diagram）

用來表示有限「偏序關係」集合的圖，其精神在於「用最簡化的方式描述該偏序集合元素間的關係」。繪製哈斯圖包含下列步驟：

1. 由下而上標示集合中各個元素。
2. 繪製各相同與相異元素間「有向圖（directed graph）」。
3. 移除所有表示「自反性」的箭頭小圈。
4. 移除所有表示「遞移性」的長箭頭。
5. 因所有箭頭方向皆為由下往上，可將所有箭頭改為無方向性的線段。

例如有一個集合為 S={1,2,3,4}，當中有一偏序關係 ρ 為 x|y（即 x 可整除 y，或 y 可被 x 整除），可以用「ρ={(x,y)| x|y }」表示，要如何用哈斯圖表示在 S 中，「ρ」這個偏序關係呢？

1. 由下而上依序標示元素 1、2、3、4。
2. ρ 包含 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}，將這些二元關係全部以箭頭表示。
3. 移除所有表示「自反性」關係的小圈箭頭，包含 {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}，ρ 集合中剩下 {(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)}。
4. 移除所有表示「遞移性」的長箭頭，因為 1 可以連到 2、2 也能連到 4，因此移除 {(1,4)}，此時 ρ 集合中剩下 {(1,2),(1,3),(2,4)}。
5. 因所有箭頭方向皆往上，故可移除所有箭頭。

各步驟圖示如下：

實質等價／若且唯若（equivalence / if and only if）

同時滿足下列三條件的二元關係，可與「偏序關係」對照：

1. 自反性（reflexive），同「偏序關係」
2. 對稱性（symmetric），「偏序關係」為「反對稱性」
3. 遞移性（transitive），同「偏序關係」

舉例來說，在實數集合「R」中，我們可以依序檢查「x=y」這個二元關係是否為一個「實質等價關係」。

1. 自反性：在 R 中，任意數必「=」自己，因此具有自反性。
2. 對稱性：在 R 中，如果 x=y，則 y=x，因此具對稱性。
3. 遞移性：在 R 中，如果 x=y 又 y=z，則 x=z，因此具有遞移性。

「x=y」在 R 中同時具備自反性、對稱性與遞移性，因此可說「=」這個二元關係為一「實質等價關係」。

至於偏序關係中的範例「≤」呢？我們可以檢查其是否具備「對稱性」：在 R 中，如果 x≤y，則 y≤x 是否為真？答案很明顯是否定的，例如 x=3、y=5，當 3≤5 時，5≤3 並不成立，因此「≤」不具備「對稱性」，也不會是「實質等價」關係。

函數（function）

代表「兩集合間」的二元關係，與函數相關的幾個名詞如下：

1. 自變數（independent variable）：函數輸入值，如 f(x) 函數的 x。
2. 應變數（dependent variable）：函數輸出值，如 x 經 f(x) 函數得到的值。
3. 原像（preimage）：經函數逆向處理的結果，相當於自變數。
4. 像（image）：經函數順向處理的結果，相當於應變數。
5. 定義域（domain）：自變數的集合。
6. 對應域（codomain）：應變數存在的集合，為值域的超集，當中不屬於值域的元素無法在定義域中找到可對應的自變數。
7. 值域（range）：應變數的集合，為對應域的子集。

上面的敘述有些饒口，改用圖示理解會容易許多：

f(x) 函數將 X 集合中的「原像」對應到 Y 集合中的「像」

若要使 f(x) 符合「函數」的定義，則每個自變數都只能對應到恰好 1 個應變數，不得對應 0 個也不得對應多於 1 個應變數，但多個應變數可以對應到同一個自變數。

函數與非函數範例，凡有一個 x 對應超過一個 f(x) 者皆非函數

我們可以把函數想成超市的條碼掃描器，自變數 x 是商品、應變數 f(x) 是商品價格，所有商品刷過條碼之後都能跑出商品價格，同一種商品不可能同時有兩個價格，但同一個價格可能對應多種商品。

一、單射／嵌射（one-to-one / injection）

令 f 為一函數，只要對應域中的 f(a)=f(b)，則定義域 X 中的元素 a 與 b 相等。用符號表示如下：
∀(a,b)∈ X，f(a)=f(b) → a=b
依照換質換位律，也可以表示如下：
∀(a,b)∈ X，a≠b → f(a)≠f(b)
用簡單一點的方式理解就是「對於自變數 x 與應變數 y 而言，每個 x 都只會對應到一個 y」，如同其英文名「one-to-one（一對一）」，圖示如下：

單射函數個數

由於單射函數的每個定義域元素必只對應到一個對應域元素，因此定義域元素個數必不超過對應域元素個數。設定義域為 X、對應域為 Y，|X|≤|Y|。

現假設 |X|=m、|Y|=n，則 m≤n。

要將 X 中的元素配對到 Y 中的元素時，第一個 X 元素共有 n 種 Y 元素可配對：

當 X 的第一個元素選擇了 Y 的其中一個元素（假設為第一個），則 X 的第二個元素只剩下 Y 中的 (n–1) 個元素可以選擇：

當 X 的第二個元素也選擇了 Y 的其中一個元素（假設為第二個），則 X 的第三個元素只剩下 Y 中的 (n–2) 個元素可以選擇：

依此類推，每將一個 X 元素配對到 Y 元素，下一個 X 元素都會少一個 Y 中的元素可供配對：

配對到第 (m–1) 個 X 元素時，Y 剩下 [n–(m–2)] 個元素可供選擇：

等配對到X的最後一個元素時，Y 剩下 [n–(m–1)] 個元素：

綜合以上結果，可推斷出共有以下配對數量：

上式可用「階乘」概念表示如下，若將紅字部分約分將得上式：

上式可再用「排列」方式呈現如下：

若 f 代表以 X 為定義域、Y 為對應域的單射函數，|X|=m、|Y|=n，m≤n，f 的個數為 P(n,m)，可以想成「在 n 個對應域元素中，挑 m 個出來配對定義域元素」。

二、滿射／蓋射（onto / surjection）

若 X→Y 代表一函數關係 f，則對於對應域 Y 中任一元素 y，必能在定義域中 X 找到對應的元素 x，使 f(x)=y。用符號表示如下：
(∀y∈ Y), (∃x∈ X), f(x)=y
用簡單一點的方式理解就是「對於自變數 x 與應變數 y 而言，所有的 y 都不會落單」，要達成這個條件，對應域中的元素必定不會超過定義域的元素數量。

兩種符合「滿射」的情況

滿射函數個數

由於「滿射」的定義是「每個對應域的元素都不能落單」，因此，要找出滿射函數個數，就是「所有函數可能數」扣除「有對應域元素落單個數」。

首先來看「所有函數可能數」，若定義域 X 中的元素有 m 個，只要不設定任何條件，每個 X 中的元素都有 n 個 Y 中的元素可配對，一共有「nᵐ」種配對方式，圖示如下：

不設定任何條件下的所有配對可能，其中 m 不一定與 n 相等

為了要滿足「滿射」函數條件，定義域 X 元素個數至少要與對應域 Y 元素個數相等，即「|X|≥|Y|」，若定義域X中的元素比對應域 Y 中的元素少，又要達成「滿射」，那將有定義域X元素配對到超過一個對應域 Y 的元素，這並不符合「函數」的定義。

若定義域元素比對應域元素少、又要達成滿射，將無法符合「函數」定義

如果其中一個 Y 的元素不取，共有 C(n,1) 種可能，而對於 X 中 m 個元素而言，每個元素都只剩下 (n–1) 種選擇可供配對，圖示如下，紅字代表 Y 中不取的元素：

如果其中兩個 Y 的元素不取，共有 C(n,2) 種可能，而對於 X 中 m 個元素而言，每個元素都只剩下 (n–2) 種選擇可供配對，部分範例圖示如下，紅字代表 Y 中不取的元素：

依上述範例類推，若 f 代表以 X 為定義域、Y 為對應域的滿射函數，|X|=m、|Y|=n，m≥n，f 的個數如下：

三、雙射／對射（bijection）

函數 f 中，每個定義域的元素都只對應一個對應域元素，每個對應域元素也只會對應一個定義域元素。現假設函數 f 代表 X→Y，若 f 為一「雙射函數」，則必符合下列性質：

1. 每個 X 中的元素必至少與一個 Y 中的元素配對。
2. 每個 X 中的元素必不與超過一個 Y 中的元素配對（即「單射」）。
3. 每個 Y 中的元素必至少與一個 X 中的元素配對（即「滿射」）。
4. 每個 Y 中的元素必不與超過一個 X 中的元素配對。

統整上述四點可知，「雙射」函數就是「X 的元素與 Y 的元素之間每一組的配對都是唯一的」，且必同時滿足「單射」與「滿射」條件。

四、反函數（inverse function）

若有一函數 f 代表 X→Y，則其反函數 f⁻¹ 就是 Y→X，可以有反函數的函數稱為「可逆函數（invertible function）」，所有可逆函數必為雙射函數。

在下圖中，f(x) 與 f⁻¹(x) 互為反函數關係、g(x) 與 g⁻¹(x) 亦互為反函數關係。對於 f(x) 及 g⁻¹(x) 而言，藍色區域為定義域、粉紅區域為對應域；對於 f⁻¹(x) 與 g(x) 而言，藍色區域為對應域、粉紅區域為定義域。

五、複合函數／合成函數（composite function）

一個函數中另有一個函數，也就是把某函數的應變數變成另一函數的應變數。可以同時表示所有其他函數運算結果的函數，稱為「複合函數」。

在下圖中，下方的 y(x) 即為一「複合函數」。

錯排（derangement）

若有 n 個元素排列，經「錯排」後，每個元素都不在自己原本的位置上，其數量記為「Dₙ」或「!n」。

錯排數量

若給定 n 個數排列，經過錯排後，總排列數 Dₙ 為多少呢？

設 A₁ 代表有一個數在原來位置、A₂ 代表有兩個數在原來位置、…、Aₙ 代表有 n 個數在為來位置，則 Dₙ 的數量如下：

扣除部分為「有 1~n 個數排在原來位置」的數量，根據「排容原理」，可改寫如下：

等號右方包含幾個部分，各以不同顏色區別：

1. 白色：錯排前所有排列可能性個數，共有 n! 種。
2. 黃色：有一個數在原位置個數，共有 C(n,1)(n–1)! 種。
3. 綠色：有兩個數在原位置個數，共有 C(n,2)(n–2)! 種。
4. 藍色：有三個數在原位置個數，共有 C(n,3)(n–3)! 種。
5. 橘色：所有數都在原位置個數，共有 C(n,n)(n–n)!=1 種。

確認每個數值後，上式可再改寫如下：

將有色部分每項係數展開，發現皆可約分：

約分後得到下式：

再把「n!」提出後可得下式：

若用 Σ 表示括號內的所有項次，可得錯排組合數如下：

當 n 趨近於無限大時，Σ 內的值會趨近於 e⁻¹，因此錯排數又能改寫如下：

上述的「e」指的是「自然常數／尤拉數（Euler’s number）」。

模除（modulo operation）

符號記為「%」，用來計算兩數相除後的餘數，設該餘數為「r」，則「0≤r<除數」，舉例如下：

1. 3÷3=1…0，因此 3%3=0
2. 2÷3=0...2，因此 2%3=2
3. 1÷3=0…1，因此 1%3=1
4. 0÷3=0…0，因此 0%3=0
5. (-1)÷3=(-1)…2，因此 (-1)%3=2
6. (-2)÷3=(-1)…1，因此 (-2)%3=1
7. (-3)÷3=(-1)…0，因此 (-3)%3=0

一、模算數（modular arithmetic）

若有兩整數 a、b，兩者的差 (a–b) 可被另一正整數 n 整除，則 a、b 各自除以 n，所得餘數相同，此時稱「a、b 同餘模」，符號表示如下：

舉例來說，若 a=5、b=3、n=2，則 a、b 各自與 n 之間有什麼關係呢？

1. 5%2=1
2. 3%2=1

由上述兩者可發現，不論 a 除以 n，或者 b 除以 n，餘數都是一樣的，而當我們檢視 a 跟 b 的差，可以發現：

1. a–b=5–3=2

這個 a 跟 b 的差值正好可以被 n 整除。

模算數原理

為何只要兩數的差可以被另一正整數整除，就說這兩個數除以該正整數的餘數相同、有「同餘模」關係呢？我們可以用更具體的方式理解：

現假設 n=3，則任何整數除以 n 所得的餘數必定只有 0、1、2 三種，現我們將餘數相同者歸類在同一集合：

1. 餘數為 0 者：{…(-9),(-6),(-3),0,3,6,9…}
2. 餘數為 1 者：{…(-8),(-5),(-2),1,4,7,…}
3. 餘數為 2 者：{...(-7),(-4),(-1),2,5,8…}

只要同一集合內，任兩個數的差剛好都是 3 的倍數，就因為同集合內任兩數的差可以被 n 整除，可說明這兩個數同屬於「除以 n 的餘數相同」這個群體。

小結

1. 二元關係（ρ）：同一集合中或相異集合間，兩元素間關係的集合。
2. 齊次關係：描述同一集合內元素自己跟自己、或跟其他元素間的二元關係。
3. 自反性：齊次關係性質之一，描述一集合中某元素自己跟自己有關。
4. 非自反性：齊次關係性質之一，描述一集合中某元素自己跟自己無關。
5. 對稱性：齊次關係性質之一，若一集合中兩元素 (a,b) 有該二元關係，(b,a) 也有該二元關係，則兩元素相等。
6. 反對稱性：齊次關係性質之一，若一集合中兩元素 (a,b)、(b,a) 都有該二元關係，則 a=b。
7. 非對稱性：齊次關係性質之一，若一集合中兩元素 (a,b) 有該二元關係，則 (b,a) 沒有該二元關係。
8. 遞移性：齊次關係性質之一，若一集合中兩元素 (a,b) 及另外兩元素 (b,c) 都有該二元關係，則 (a,c) 也有該二元關係。
9. 弱連通性：齊次關係性質之一，對於一集合中兩元素 a、b，只要兩元素相異，則 (a,b) 或 (b,a) 屬於該二元關係。
10. 強連通性：齊次關係性質之一，對於一集合中兩元素 a、b，(a,b) 或 (b,a) 屬於該二元關係。
11. 關係閉包：對於某一不滿足特定二元關係的集合，經增加最少序對後，形成符合該二元關係的新集合。
12. 偏序關係：同時滿足自反性、反對稱性、遞移性的二元關係。
13. 哈斯圖：用最簡化的方式表示有限偏序關係集合的圖。
14. 實質等價：同時滿足自反性、對稱性、遞移性的二元關係。
15. 函數：兩集合間的二元關係，每個自變數只能對應一個應變數。
16. 自變數=原像：函數輸入值。
17. 應變數=像：函數輸出值。
18. 定義域：自變數的集合。
19. 對應域：應變數存在的集合，包含非應變數與所有應變數。
20. 值域：對應域中，所有應變數的集合。
21. 單射：每個自變數都只對應一個應變數。
22. 單射函數個數：若一函數定義域有 m 個元素、對應域有 n 個元素，m≤n，則有 P(n,m) 個單射函數。
23. 滿射：每個應變數都有自變數與其對應。
24. 滿射函數個數：若一函數定義域有 m 個元素、對應域有 n 個元素，m≥n，則有 nᵐ–[C(n,1)(n–1)ᵐ+C(n,2)(n–2)ᵐ+...+C(n,n)(n–n)ᵐ] 個滿射函數。
25. 雙射：所有自變數跟應變數都是一對一配對。
26. 反函數：函數的逆向運作，如對於函數 f 而言，f⁻¹ 為其反函數；所有反函數皆為雙射函數。
27. 複合函數：若 y(x)=f(g(x))，則 y(x) 為複合函數。
28. 錯排（Dₙ或!n）：排列好的物件重新排列後，每個物件都不在原來的位置上。
29. 錯排數量：可用「排容原理」計算，最終約等於 n!/e。
30. 模除（%）：用於求除法中的餘數。
31. 模算數：若兩整數 a、b 之差可被一正整數 n 整除，若且唯若 a%n=b%n。