邏輯論證（Logical Argument）

邏輯論證（argument）

「論證」包含「前提」與「結果」，用符號表示如下：

P₁ ∧ P₂ ∧ … ∧ Pₙ → Q

其中 P₁、P₂、…、Pₙ 稱為「前提」，Q 稱為「結果」。

從「前提」發展到「結果」可用「歸納法（induction）」或「演繹法（deduction）」，兩種邏輯推理方法非本文討論重點，可透過文字中的超連結參考維基百科說明。

在實務上來說，要證明「P₁∧P₂∧…∧Pₙ→Q」並不容易，因此有些時候會改為證明「P₁∧P₂∧…∧Pₙ₋₁→(Pₙ→Q)」。

一、雙向推理規則（biconditional inference rules）

因為部分「命題」有與其「實質等價」的另一「命題」，兩「命題」之間可以互相代換，形成以下推理規則：

有了以上規則，命題可以推出結論，形成邏輯論證，舉例如下：

1. 原始命題（假說 hyp）：(P'∨Q')∨R
2. 笛摩根定律 De Morgan：(P∧Q)'∨R
3. 實質條件 imp：(P∧Q)→R

最後得到的「(P∧Q)→R」即為一「邏輯論證」，可由 (P∧Q) 這個命題推出 R 這個結果。

二、單向推理規則（monoconditional inference rules）

可以「從前提推得結果」，但無法「從結果推回前提」，舉例如下：

前四者概念比較抽象，可用實例理解：

有效論證：肯定前件（modus ponens，簡稱 mp）

1. 前提 P：今天下雨。
2. 前提 (P→Q)：若今天下雨，則地上是濕的。
3. P∧(P→Q) 即代表：今天下雨；且若今天下雨，則地上是濕的。
4. 由第 3. 點可得出「地上是濕的」這個結果 Q。

無效論證：否定前件（denying the antecedent）

1. 前提 P'：今天沒有下雨。
2. 前提 (P→Q)：若今天下雨，則地上是濕的。
3. 結果 Q'：地上不是濕的。

但有了「今天沒有下雨」這個前提，不代表會有「地上不是濕的」這個結果，就算全天豔陽高照，只要有人澆花、洗地板等行為，都還是可以讓地上變成濕的，「P'∧(P→Q)」也可以推出「Q」，因此「P'∧(P→Q)→Q'」是無效論證。

無效論證：肯定後件（affirming the consequent）

1. 前提 Q：地上是濕的。
2. 前提 (P→Q)：若今天下雨，則地上是濕的。
3. 結果 P：今天下雨。

但「地上是濕的」不一定代表「今天下雨」，也可能是因為有人澆花、洗地板等，「Q∧(P→Q)」也可以推出「P'」，因此「Q∧(P→Q)→P」是無效論證。

有效論證：否定後件（modus tollens，簡稱 mt）

1. 前提 (P→Q)：若今天下雨，則地上是濕的。
2. 前提 Q'：地上不是濕的。
3. 由第 2. 點可以得出「今天沒有下雨」這個結果。

「命題邏輯」推理範例

邏輯論證：P∧(Q→R)∧[(P∧Q)→(S∨R')]∧Q→S
目標：從「P∧(Q→R)∧[(P∧Q)→(S∨R’)]∧Q」經邏輯推理，得到結果「S」。

1. 假說一（hyp 1）：P
2. 假說二（hyp 2）：(Q→R)
3. 假說三（hyp 3）：[(P∧Q)→(S∨R')]
4. 假說四（hyp 4）：Q
5. 邏輯合取（con hyp 1 & hyp 4）：P∧Q
6. 肯定前件（mp hyp 3 & 5.）：(S∨R')
7. 交換率（comm hyp 3 & 7.）：(R'∨S)
8. 實質條件（imp 7.）：R→S
9. 肯定前件（hyp 2. & hyp 4.）：R
10. 實質條件（imp 8. & 9.）：S

三、謂詞邏輯推理規則（predicate logic inference rules）

假設 x 代表「手機」、t 代表「iPhone 13」，因此 t 代表某一個 x；P(x) 代表「x具有照相功能」，又因 x 代表手機，因此 P(x) 代表「手機具有照相功能」，P(t) 則是代表「iPhone 13 具有照相功能」。

全稱實例化（universal instantiation，簡稱 ui）

1. 「∀x」代表「對於所有的手機」。
2. 「P(x)」代表「手機具有照相功能」。
3. 「∀xP(x)」，即當「每隻手機都具有照相功能」時。
4. 「P(t)」：「iPhone 13 具有照相功能」是否為真？

因為「手機」這個群體的每個成員都可以照相，iPhone 13 又屬於「手機」這個群體，因此「iPhone 13 具有照相功能」這個敘述為真。

普遍化（universal generalization，簡稱 ug）

1. 「P(t)」代表「iPhone 13 具有照相功能」。
2. 「∀xP(x)」：「每隻手機都具有照相功能」是否為真？

我們可以因為「iPhone 13 具有照相功能」，就推出「所有手機都具有照相功能」這個結果嗎？

這個推理是有問題的，因為 iPhone 13 可以拍照，不代表所有的手機都可以拍照，或許在「手機」這個群體中，真的存在不具照相功能的手機。

只有在從「全稱實例化（ui）」推得的 P(t)，才能使「普遍化（ug）」推得的 ∀xP(x) 成立。

存在例化（existential instantiation，簡稱 ei）

1. 「∃x」代表「存在一隻手機」。
2. 「P(x)」代表「手機具有照相功能」。
3. 「∃xP(x)」，即當「存在一隻手機具有照相功能」時。
4. 「P(t)」：「iPhone 13 具有照相功能」是否為真？

因為至少有一隻手機具有照相功能，而 iPhone 13 又屬於「手機」這個群體，因此，「iPhone 13 具有照相功能」這個敘述為真。

存在概括（existential generalization，簡稱 eg）

1. 「P(t)」代表「iPhone 13 具有照相功能」。
2. 「∃xP(x)」：「存在一隻手機都具有照相功能」是否為真？

iPhone 13 屬於「手機」這個群體，而 iPhone 13 又可以拍照，因此，「存在一隻手機都具有照相功能」這個敘述為真。

「命題邏輯」與「謂詞邏輯」綜合推理範例

邏輯論證： ∀x[P(x)→Q(x)]∧∃x[P(x)∧R(x)]→∃x[P(x)∧Q(x)∧R(x)]
目標：從「∀x[P(x)→Q(x)]∧∃x[P(x)∧R(x)]」經邏輯推理，得到結果「∃x[P(x)∧Q(x)∧R(x)]」。

• 假說一（hyp 1）：∀x[P(x)→Q(x)]
• 假說二（hyp 2）：∃x[P(x)∧R(x)]
• 全稱實例化（ui hyp 1）：P(t)→Q(t)
• 存在例化（ei hyp 2）：P(t)∧R(t)
• 邏輯簡化（sim 4.）：P(t)、R(t)
• 肯定前件（mp 3. 的 P(t) & 5.）：Q(t)
• 邏輯合取（con 5. & 6.）：P(t)∧Q(t)∧R(t)
• 存在概括（eg 7.）：∃x[P(x)∧Q(x)∧R(x)]

小結

1. 邏輯論證：包含「前提」與「結果」，「結果」可經「前提」推理得出。
2. 雙向推理規則：兩實質相等命題間的推理過程，包含交換律（comm）、結合律（ass）、笛摩根定律（De Morgan）、實質條件（imp）、雙重否定（dn）、實質等價（equ）。
3. 單向推理規則：從「前提」得到「結果」、適用命題的單向推理過程，包含肯定前件（mp）、否定後件（mt）、邏輯合取（con）、邏輯簡化（sim）；「否定前件」與「肯定後件」為無效論證。
4. 謂詞邏輯推理規則：從「前提」得到「結果」、且適用謂詞的單向推理過程，包含全稱實例化（ui）、存在例化（ei）、存在概括（eg）；「普遍化（ug）」不一定正確，僅在從 ui 推理出的結果適用。