命題（proposition）
一、命題（proposition）
指的是「可以判斷真（T）或假（F）」的敘述，範例如下：
- 太陽系有八大行星 ← 可判斷此一敘述為「真（T）」，是「命題」
- 臺灣最高的山是富士山 ← 可判斷此一敘述為「假（F）」，是「命題」
- 今天天氣很熱 ← 每個人對冷熱感受不同，無法判斷真假，故非「命題」
一般實務上會將「命題」以一個英文字母代替，例如 A、B、P、Q 等，命題的「真（T）」或「假（F）」稱為這個命題的「真假值（truth value）」。
二、否定命題（negation）
即命題的真值（truth value，即「真」或「假」）改為反向，原本為「真」者改為「假」，原本的「假」值改為「真」，可以有多種表示方式，整理如下，本文將使用第一個「prime」符號為主：
複合命題（compound proposition）
除命題本身敘述會影響真假外，若用「邏輯連接詞」連接不同命題，也能產生可判斷真假的「複合命題」，以下將開始介紹各種複合命題。
一、合取（conjunction）& 析取（disjunction）
「合取（conjunction）」就是「且（and）」，記為「∧」，代表只有在連接的兩個命題皆為真時，產生的複合命題才為真，否則為假。
「析取（disjunction）」就是「或（or）」，記為「∨」，代表只要連接的其中一個命題為真，產生的複合命題即為真，若兩端命題皆為假，結果亦為假。
以「合取」及「析取」連接兩命題時，可產生下列「真值表（truth table）」：
二、實質條件／蘊含（implication）
用語意理解就是「若 P，則 Q」，代表實質條件的符號是箭頭「→」，因此「若 P，則 Q」可記為「P→Q」，P 稱為「前件（antecedent）」、Q 稱為「後件（consequent）」。
實質條件也可產生真值表如下：
在結果為「真」時，前件為後件的「充分條件（sufficient condition）」、後件為前件的「必要條件（necessary condition）」。
假設 P 命題代表「今天下雨」、Q 命題代表「地上是濕的」，可以依序理解真值表中的四種情況：
- 若今天下雨，則地上是濕的 ← 可判斷為「真」。
- 若今天下雨，則地上不是濕的 ← 可判斷為「假」。
- 若今天沒下雨，則地上是濕的 ← 可判斷為「真」，稍後討論。
- 若今天沒下雨，則地上不是濕的 ← 可判斷為「真」。
第三種情況相對較難理解，可以這樣思考：如果「今天下雨」為假、「地上是濕的」為真，那「若今天沒下雨，則地上是濕的」這個敘述是否成立呢？
可以！地上是濕的，不代表一定下過雨，有人澆花、洗馬路、水管破裂等原因都可以讓地上變成濕的，因此「若今天沒下雨，則地上是濕的」此一複合命題的結果為「真」。
實質條件的真值表共有兩大重點：
- 只有在前件為真、後件為假時，結果為假。
- 只要前件為假，結果必為真。
也就是說，在「前件為假」或「後件為真」時，「若前件，則後件」這個敘述成立， (P→Q) 即代表 (P'∨Q)。
「實質條件」的否定：「前件為真，後件為假」
(P→Q)' 即代表 (P∧Q')，推導過程如下，會應用到下個段落「實質等價」與下下個段落「笛摩根定律」觀念：
- 由本段落真值表得知 (P→Q)↔(P'∧Q)
- 雙箭號兩邊同時否定：(P→Q)'↔(P'∧Q)'
- 根據笛摩根定律，右側命題及邏輯連接詞變號：(P→Q)'↔(P∧Q')
再比較一下「實質條件」的真值表，是不是只有「P 為真」且「Q 為假」時，(P→Q) 才為假呢？
換質換位律（contraposition）
假設前件 P 代表「今天下雨」、後件 Q 代表「地上是濕的」，雖說「地上是濕的」不一定代表「今天下雨」，但如果「地上不是濕的」，就代表「今天一定沒下雨」。
因此，「若 P，則 Q」其實跟「若非 Q，則非 P」是一樣的，用符號表示即為「(P→Q)↔(Q'→P')」，當中的雙箭號代表左右兩邊「實質等價」，詳細說明可參考下個段落。
三、實質等價／若且唯若（equivalence / if and only if）
上段出現的雙箭號「↔」也可以寫成「⇔」，代表的是「實質等價」，指的是 (P→Q)∧(Q→P)，用簡單一點的方式理解就是「兩邊命題完全相等」，英文 if and only if 可簡寫為 iff。
在「實質等價」中，兩命題互為「充分必要條件（sufficient and necessary condition）」。
為什麼要特別提出「實質等價」呢？假設P命題為「今天下雨」、Q 命題為「地上是濕的」，這兩個命題是否相等呢？
就如同在「實質條件」段落討論的，如果「今天下雨」，則「地上是濕的」這件事情是對的，因此 (P→Q) 成立；但因為「地上是濕的」不一定代表「今天下雨」，因此 (Q→P) 並不成立。一定要雙方向皆成立，兩個命題才可以說是「實質等價」。
「實質等價」的真值表從上個段落「實質條件」的真值表延伸而來，整理如下：
由此可以發現，只有在 P、Q 兩個命題真假值相同時，P 跟 Q 才會實質等價。若跳脫真值表推導，改用白話來理解就是「只有兩項命題皆正確、或兩項命題皆錯誤時，這兩個命題才完全相等」。
「實質等價」的否定：「兩命題任一為真、另一為假」
根據「實質等價」的真值表，可發現要否定「實質等價」就代表兩命題任一為真、另一為假，因此，(P↔Q)'↔(P∧Q')∨(Q∧P')，詳細推導過程如下，會應用到下段的「笛摩根定律」：
- 根據定義，(P↔Q)↔[(P→Q)∧(Q→P)]
- 兩邊同時否定：(P↔Q)'↔[(P→Q)∧(Q→P)]'
- 雙箭號右側取笛摩根定律：(P↔Q)'↔[(P→Q)'∨(Q→P)']
- 雙箭號右側根據「實質條件否定規則」：(P↔Q)'↔[(P∧Q')∨(Q∧P')]
四、笛摩根定律（De Morgan’s laws）
這個部分有兩個重點：
- (P∨Q)'↔(P'∧Q')
- (P∧Q)'↔(P'∨Q')
只要否定一個合取／析取的複合命題，就代表複合命題內的每個命題都改成否定、「且」改成「或」、「或」改成「且」。
恆真式（tautology）
「恆真式」表示在任何解釋下，永遠為「真」的命題，例如：
- P∨P'，P 非真即假，因此「P 或非 P」這個命題永遠為真。
- (P→Q)↔(Q'→P')，實質條件「若非後件，則非前件」規則恆真。
- [(P∧Q)→R]↔[P→(Q→R)]，這個比較不好理解，可用「真值表」求得：
這個真值表結合了「合取（黃底欄）」、「實質條件（藍底欄）」、「實質等價（綠底欄）」三個概念。
由真值表最後綠底欄的結果可以發現，[(P∧Q)→R]↔[P→(Q→R)] 恆為真。
合式公式（well-formed formula, WFF/wff）
可由上述「命題」與「邏輯連接詞」解釋的字符串稱為「合式公式（well-formed formula, WFF）」，例如：
- 「(P→Q)∧(Q→P)」可理解為「若 P，則 Q，且若 Q，則 P」，因此為 WFF。
- 「(P→↔Q)(Q→P)」無法解釋，因此不是 WFF。
小結
- 命題：可判斷「真」或「假」的敘述。
- 否定命題：原為「真」的命題改成「假」、原為「假」的命題改成「真」。
- 複合命題：「命題」與「邏輯連接詞」組合形成的新命題。
- 合取（∧）、析取（∨）：分別代表「且」與「或」。
- 實質條件（→）：若 P，則 Q，寫作「P→Q」。
- 實質條件的否定：前件為真，後件為假，即「(P→Q)'↔(P∧Q')」。
- 換質換位律：若非後件，則非前件，即「(P→Q)↔(Q'→P')」。
- 實質等價（↔）：若且唯若，即「(P→Q)∧(Q→P)」。
- 實質等價的否定：兩命題任一為真、另一為假，即「(P↔Q)'↔(P∧Q')∨(Q∧P')」。
- 笛摩根定律：(P∨Q)'↔(P'∧Q')；(P∧Q)'↔(P'∨Q')。
- 恆真式：恆為「真」的命題。
- 合式公式（WFF/wff）：可用「命題」與「邏輯連接詞」解釋的字符串。
