謂詞邏輯（Predicate Logic）

謂詞（predicate）

表示一「特性」或「關係」的敘述，範例如下：

1. x < 5
2. (a+π)/11 ≥ e²

在上述兩個範例中，分別存在一未知數 x 及 a，在沒有設定 x 與 a 的範圍下，無從判斷其真假值，因此不能稱為「命題」，而是「謂詞」。

量詞（quantifier）

「謂詞」經過「量詞」設定範圍、並以「邏輯連接詞」連接後，即形成「謂詞合式公式（predicate wff）」，量詞定義的謂詞又稱為「轄域（scope）」。設定範圍的方式共有兩種：

全稱量化（universal quantification）

即「對於所有（for all）」，符號記為「∀」。

存在量化（existential quantification）

即「存在（there exists）」，也就是「至少有一個」，符號記為「∃」。

有了「量詞」與「謂詞」，就能有像下面的敘述：

藍色「量詞」制定藍色「轄域」；綠色「量詞」制定綠色「轄域」；邏輯連接詞「且（∧）」的兩側各自為紅色「謂詞」。

只要再定義變數的定義域（domain）與謂詞，就可以判斷這個敘述的真假，例如：

1. 定義變數「x」、「y」的定義域為整數（Z）。
2. 定義謂詞「A(x)」為 x>0。
3. 定義謂詞「B(x,y)」為 x>y。
4. 定義謂詞「C(x,y)」為 y≤0。

上述的一連串符號即可解讀為「至少有一個 x，此 x>0，且對於所有的 y 而言， 若 x>y，則 y≤0」。

再白話一點可以這樣理解：

1. 至少有一個大於 0 的整數 x，x 可為 1、2、3… 等等的正整數。
2. 「如果 x 大於 y 成立，則y可能為0或所有負整數」是否為真？
3. 在 x 為 1 時，敘述 2. 即成立，因此敘述為「真」。

在 x 為 2 時，若 x>y，則 y 除了 0 與所有負整數外也包含 1，敘述 2. 並不成立，x 為 3 以上的整數時亦然，但因為我們設定的是「至少有一個 x」，只要 x=1 時成立就算正確，因此該敘述為真。

若最前面的量詞改為「∀」，變成 x 用 1 以上任何一個整數代入時，都要符合 x>y 時，y≤0，但因為 x 為 2 以上的正整數皆不正確，因此「(∀x)(A(x) ∧ (∀y) [B(x,y) → C(y)])」為假。

量詞的「否定（negation）」

現在來試想以下兩種敘述的否定，其中 x 為整數：

1. (∀x)(x>0)
2. (∃x)(x>0)

要找出這兩個敘述的否定，代表要說明這兩個敘述是錯的！

1. [(∀x)(x>0)]'，即「所有的 x 都大於 0」是錯的。
2. [(∃x)(x>0)]'，即「至少有一個 x 大於 0」是錯的。

要說明「所有的 x 都大於 0」是錯的，就是要說明「存在一個 x 小於等於 0」；要說明「至少存在一個 x 大於 0」是錯的，就是要說明「所有的 x 都 ≤0」，用符號表示如下：

1. 「[(∀x)(x>0)]'」即「(∃x)(x≤0)」。
2. 「[(∃x)(x>0)]'」即「(∀x)(x≤0)」。

比較一下左右兩側符號可以發現，除了「>」改為「≤」外，只是把「∃」與「∀」互換，此即為量詞的否定，有點類似笛摩根定律中，將「∧」與「∨」互換的過程。

小結

1. 謂詞：若無量詞設定範圍，則無從判斷真假值的敘述。
2. 量詞：包含「∀（對於所有）」與「∃（存在）」，可使其轄域（即謂詞）有真假值。